Suhteellisuusteoria ja kaksosparadoksi

Aina joskus on kiva miettiä asioita, jotka menevät yli ymmärryksen. Esimerkiksi alkuräjähdys, avaruuden äärettömät mittasuhteet, suhteellisuusteoriaan liittyvät havainnot ja moni muu asia meitä ympäröivässä maailmassa herättävät ihmettelyn ja kunnioituksen sekaisia tunteita ja saavat ajattelemaan Jumalan suuruutta. 

Sillä minun ajatukseni eivät ole teidän ajatuksianne, eivätkä teidän tienne ole minun teitäni, sanoo Herra. Vaan niin paljon korkeampi kuin taivas on maata, ovat minun tieni korkeammat teidän teitänne ja minun ajatukseni teidän ajatuksianne (Jes. 55:8-9)

Albert Einstein julkaisi erityisen suhteellisuusteorian ( = suppea suhteellisuusteoria) vuonna 1905. Hän esitteli siinä uudenlaiset käsitykset avaruudesta ja ajasta. Tätä teoriaa sanotaan 'suppeaksi', koska  Einstein julkaisi myöhemmin laajemman yleisen suhteellisuusteorian, joka käsittelee myös gravitaatiota. 

Einsteinin esittämät perusväittämät ovat:

• Suhteellisuusperiaate, jonka mukaan fysiikan lait ovat samat kaikissa inertiaalijärjestelmissä eli tasaisessa liikkeessä olevissa koordinaatistoissa, toisin sanoen tasaisessa liikkeessä oleville havaitsijoille. Periaatteen mukaan millään kokeella ei voida osoittaa, onko havaitsija levossa vai tasaisessa liikkeessä.
• Valon (tai muun sähkömagneettisen säteilyn) tyhjiönopeus on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistossa, eikä riipu valon lähteen ja havaitsijan keskinäisestä nopeudesta.

Perusväittämistä seuraa useita käytännön järjelle outoja asioita, kuten

• Ajankulku on suhteellista ja suhteellisesti liikkuvan aika kuluu hitaammin (aikadilataatio).
• Tarkkailijan suhteen liikkuva kohde 'litistyy' liikesuunnassa. Myöskin etäisyydet kutistuvat, siten esim. avaruusraketin kannalta sen kulkema matka on lyhempi kuin maasta mitattuna (pituuskontraktio).
• Samanaikaisuuden suhteellisuus: Vastaus kysymykseen, ovatko kaksi eri paikoissa tapahtuvaa tapahtumaa samanaikaisia vai ei, riippuu havaitsijan liiketilasta.

Suhteellisuusperiaatteen mukaan on siis niin, että jos A  liikkuu B.n suhteen, niin asiaa voidaan katsoa niinkin, että B liikkuuu A:n suhteen. Molemmat voivat odottaa samanlaisia seurauksia mittaustuloksiin, esim. ajan hidastumiseen.

Ajan hidastuminen voi kuitenkin olla myös epäsymmetristä. Siitä esimerkki on tunnettu kaksosparadoksi. Siinä kaksosista toinen lähtee avaruusmatkalle hyvin suurella nopeudella vaikkapa kaukaiseen tähteen ja palaa sitten maapallolle. No niin kummallista asiaa ei tässä tilanteessa huomata, että molempien aika olisi kulunut hitaammin, kun verrataan kelloja maapallolla matkan jälkeen, mikä olisikin tietysti mahdotonta. Mutta kummallinen on sekin havainto, että huomataan avaruusmatkan tehneen kaksosen ajan kuluneen hitaammin. Hän ei ole siis vanhentunut yhtä paljon. Miksi tapahtuu näin, vaikka asiaa voitaisiin tarkastella niinkin, että maapallo ja siellä ollut kaksonen ( + tähti) liikkui avaruusmatkaajan suhteen ja ajan olisi silloin pitänyt kulkea suhteellisesti hitaammin maapallolla... Tästä pähkinä on saanut nimen kaksosparadoksi (t. kelloparadoksi). Kyseessä ei kuitenkaan ole todellinen ristiriita suhteellisuusteorian kanssa. 

Piirros: Ester T. 2021

Aikadilataatio on havaittu kokeellisesti esim. lennätettäessä äärimmäisen tarkkoja kelloja ja verrattaessa niitä maan pinnalla pysyneisiin kelloihin. Myöskin GPS-satelliiteissa aikadilataatio täytyy ottaa huomioon - sekä liikkeestä syntyvä suppean suhteellisuusteorian piiriin kuuluva, että gravitaation aiheuttama, joka kuuluu yleisen suhteellisuusteorian puolelle.

Koitan pitäytyä asiasisällön suhteen lähteisiin mahdollisimman hyvin, koska olen aivan maallikko näissä jutuissa. Piirtämäni kaaviot perustuvat netistä löytämiini valmiiksi laskettuihin esimerkkeihin.

Lorentz-kerroin

Lorentz-kertoimen kaava on hyvä ottaa esille, ennen kuin mennään esimerkkiin. Aikadilataatio ja pituuskontraktio saadaan jakamalla "paikallaan" olevan koordinaatiston aika tai pituus tällä tekijällä. Kaava on yksi seuraus Hendrik Lorentzin sähkömagneettisia kenttiä koskevista tutkimuksista ja oleellinen osa suhteellisuusteoriaa. Lorentz-kerrointa merkitään usein merkillä γ (gamma). Se on aina >= 1 ja lähenee ääretöntä nopeuden (v) kasvaessa hyvin lähelle valon nopeutta (c).

 

Avaruusmatka

Tutkitaan esimerkkinä seuraavanlaista versiota "kaksosista": Maahan jäävän (Matti) mielestä tähteen on matkaa 3 vv, nopeudella 3/5 c se kestää 5 vuotta. Avaruusmatkaaja (Aava) huomaa liikkeelle lähdettyään kuitenkin, että hänen mitatessaan matka on 2.4 vv ja kestää 4 vuotta, molemmat arvot pienentyvät Lorentz-kertoimen määräämällä tavalla.  Lorentz-kerroin γ on tässä tapauksessa 5/4, desimaalilukuna 1.25. Matkaajan kello hidastuu tekijällä 1/γ = 4/5.  

Matemaatikko Hermann Minkowski kehitti kätevän tavan tarkastella tämäntapaisia asioita. Oheisessa diagrammissa liikutaan helppouden vuoksi kaksiulotteisessa aika-avaruudessa, jossa on vain aika-akseli pystyakselina ja etäisyyttä kuvaava x-akseli vaaka-akselina. Valitaan mittayksiköiksi vaaka-akselille valovuosi ja pystyakselille vuosi yhtä pitkin jakovälein. Maahan jäävä kaksonen liikkuu ainoastaan pystyakselilla (aika kuluu), avaruusmatkaaja myös x-akselin suuntaisesti. Tällaisella kaaviolla on sekin ominaisuus, että siihen piirretyn valonsäteen reitti on aina pystyakseliin nähden +/- 45 asteen kulmassa oleva suora, valohan etenee vuodessa yhden valovuoden.

Koordinaatiston pystyakselilta näkyy, että edestakainen matka vie Matin mielestä 10 vuotta. Vaaka-akseli kertoo, että tähteen on Matin mielestä matkaa 3 valovuotta. Aavan edestakainen avaruusmatka näkyy kahtena mustalla piirrettynä vinona suorana, jossa matka tähteen on merkitty 4 vuoden kestoiseksi, samoin paluu, yhteensä 8 vuotta. (Sitä, että matkaajan mielestä etäisyys tähteen on 2.4 vv, ei ole merkitty).

Himmeän harmaina vaakaviivoina on merkitty "samanaikaisuus" Matin mielestä. Ne saadaan suoraan Lorentz-kertoimella - esim. Matin vuotta 2 vastaa Aavan vuosi 2/1.25 = 1.6.  Matin mielestä Aavan aika kuluu koko ajan hitaammin kuin hänellä.

Mutta Aava voi suhteellisuusperiaatteen mukaan nähdä asian niinkin, että Matti on se, joka liikkuu ja Matin kellon tulisi hidastua. Aava voisi laskea samaan tapaan Lorentz-kertoimella ja sanoa heti lonkalta, että kun hänellä on kulunut 2,5 vuotta, Matilla on kulunut 2 vuotta. Kun kuitenkin matkan lopputulos on se, että Aavan päivyrissä on kulunut kaksi vuotta vähemmän, tämä voisi herättää jossakussa vaikkapa hienoisia epäilyksiä. Onko Aavalla mitään väitteensä tueksi ja miten tämä homma oikein kokonaisuudessaan menee?

Asiaa voidaan tutkia valon nopeudella etenevien viestien vaihdolla: 

Aava lähettää Matille viestin matkustettuaan oman kellonsa mukaan tasan puoli vuotta (sininen nuoli). Valon nopeudella etenevä viesti saapuu Matille, kun Matin kellossa on kulunut 1 vuosi. Matti lähettää välittömästi Aavalle viestin: "Sain viestisi tasan vuonna 1" (punainen nuoli). Kuittaus saavuttaa Aavan, kun Aavan kellossa on kulunut kaksi vuotta. Koska Aava voi pitää Mattia liikkeellä olevana osapuolena ja kuittaus lähti heti takaisin, eli viestin paluumatka näin katsoen olisi sama, Aava järkeilee seuraavasti: Viesti lähti Aavan vuonna 0.5 ja kuittaus tuli Aavan vuonna 2, joten ihan yksinkertaisella matematiikalla Aava laskee, että Matti oli lähettänyt kuittauksen näiden puolivälissä Aavan kellosta katsoen, eli (0.5 + 2)/2 = 1.25 Aavan aikaa. Mutta Matin viestissä luki "Sain viestisi tasan vuonna 1". Siis Aava sai mittaustuloksen, että Matin aika on hidastunut. Ja hidastuminen täsmää vieläpä Lorentzin kertoimen antamaan tulokseen (1.25/γ = 1.25/1.25 = 1). Samanaikaisuutta (Aavan kannalta) 1.25 - 1 on kuvattu mustalla katkoviivalla.

Samalla tavalla käy Aavan vuonna yksi lähettämälle viestille. Matti saa sen omana vuonnaan 2 ja kuittaus tulee perille Aavan vuonna 4. Aava laskee (1+4)/2 =2.5, mutta Matin ilmoittama aika oli 2 vuotta. Sama suhde taas. Tosiaan siis ainakin alkumatkasta Aava saa  tällaista tukea väitteelle, että Matin aika hidastui häneen nähden. Samanaikaisuutta (Aavan kannalta) 2.5 - 2 on kuvattu mustalla katkoviivalla.

Mutta seuraavalla kerralla tuleekin mielenkiintoinen tulos. Aava lähettää viestin juuri lähtiessään paluumatkalle, oman kellonsa mukaan vuonna 4. Viesti tulee perille Matin vuonna 8. Matin kuittaus tulee perille Aavan vuonna 7, sisältäen taas "Sain viestisi vuonna 8". Aava laskee (4+7)/2 = 5.5. Nyt Matin kello onkin kummasti "kirinyt" ja mennyt jopa ohi. Matin vuotta 8 vastaa Aavan ajankohta 5.5 v. Matin kello on 2.5 vuotta edellä!

Mutta tästä eteenpäin loppumatkalla Aava huomaa, että ero tasoittuu hieman. Aavan vuonna 6 lähettämä viesti tulee Matille tämän vuonna 9 ja kuittaus perillä Aavan vuonna 7.5. Vastaavuudeksi tulee: Matti 9, Aava 6.75, joten ero on nyt enää 2.25 vuotta. Ja lopulta, kun Aava on takaisin maassa, ero on tasan 2 vuotta

Siis yhteenvetona: Alkumatkalla ja loppumatkalla Aava voi tosiaan mitata, että Matin kello hidastuu ihan suhteellisuusteorian ennustamalla tavalla. Kuitenkin siinä välissä Matin kellossa kuluu huomattavasti enemmän aikaa kuin hänen kellossaan. Ja näin molemmat kaksoset saavat saman tuloksen loppujen lopuksi, matkaajan kellossa on kulunut vähemmän aikaa kuin maapallolle jääneen kaksosen. 

 

Ei siis saatu ristiriitaisia lopputuloksia, vaikka matkan varrella näkökulma onkin aika erilainen ja mittaukset antavat aika mielenkiintoisia tuloksia. 

Mitä kaksoset näkevät?

Näkeminen on eri asia kuin mittaukset ja laskelmat. Kuvitellaan, että Matti ottaa joka vuosi ajanottolaitteestaan digikuvan ja lähettää sen valon nopeudella etenevän viestin mukana Aavalle. Samoin Aava Matille. Miltä tilanne silloin näyttää kaksosten mielestä? 

Siinä käy niin, että menomatkalla Aava saa vain kaksi digikuvaa, vuodelta 1 ja 2. 

Paluumatkalla Aava saa kaikki loput kahdeksan digikuvaa puolen vuoden välein, yhteensä kymmenen.

Matti saa ensimmäiset neljä viestiä myös harvakseen, kahden vuoden välein. Loput neljä tulevat puolen vuoden välein, yhteensä kahdeksan. 

Matkaajan ajan hidastuminen tulee tällä tavalla konkreettisesti esiin. Matti saa Aavalta vain kahdeksan viestiä, mutta Aava Matilta kymmenen. Doppler-ilmiön johdosta menomatkan aikana viestit tulevat 'harventuneesti', paluumatkan aikana 'tihentyneesti'. Tarkkaan ottaen tässä yhteydessä puhutaan suhteellisuusteoreettisesta Doppler-ilmiöstä, jossa on mukana aikadilataatio.

 

Miksi siis?

Mutta miksi siis tilanne on epäsymmetrinen, miksi matkaajan kellossa todellakin kuluu vähemmän aikaa, eikä toisinpäin?  

Syyksi voidaan antaa juuri se, että Aava vaihtoi inertiaalikoordinaatistoa matkan aikana. Itse asiassa jo alussakin. Silloin ei ollakaan siinä perustilanteessa, josta erityinen suhteellisuusteoria lähtee liikkeelle. Entäpä se vastaväite, että voitaisiinhan tämä esimerkki tulkita maapallon ja tähden edestakaiseksi matkaksi, ja ainakin piirtää vastaava diagrammi, missä maapallo ikäänkuin vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa? Tähän voidaan sanoa, että maapallo ei kuitenkaan todellisuudessa vastustanut jatkavuuden lakia kuten raketti teki liikkeelle lähtiessään ja vaihtaessaan liikesuuntaa. Maapallo ei oikeasti vaihtanut inertiaalikoordinaatistoa.  

Einsteinin kellot

Yksinkertaisimmillaan (ja toisaalta ehkä vielä vaikeatajuisempana) kaksosparadoksi, josta käytetään myös nimeä kelloparadoksi, löytyy Einsteinin vuonna 1905 julkaisemasta tieteellisestä artikkelista, jossa hän esittelee suppean suhteellisuusteorian (suomennos minun):

Jos koordinaattijärjestelmän K pisteissä A ja B on kellot, jotka ovat synkronissa [samassa ajassa] tässä paikallaan olevassa järjestelmässä; ja jos kello A siirtyy nopeudella V A:n ja B:n välistä suoraa pitkin kohtaan B, niin kun se tulee perille, nämä kaksi kelloa eivät enää ole synkronissa, vaan A:sta B:hen liikkunut kello on jäljessä siitä kellosta, joka pysyi kohdassa B.

Tästä herää heti kysymys: Mihin häviää "se toinen" aikadilataatio? Se, että B:n ajan olisi pitänyt kulua hitaammin, jos asiaa tarkasteltaisiin siltä kannalta, että B liikkui A:n luo. 

Eräässä nettikeskustelussa minulle selitettiin asiaa tähän tapaan: "Kun kello A lähtee liikkeelle, sen uudesta liikkuvasta koordinaatistosta katsoen kello B on mennyt edelle. Kellon A kannalta lähenevä kello B käy sen jälkeen hitaammin, mutta ei kuitenkaan niin hitaasti, että kellon B etumatka täysin häviäisi. Lopussa kello A on siis vielä jäljessä. "

 

Tälle saataisiin tukea mittauksilla samaan tapaan kuin kaksosparadoksin paluumatkalla. Jos kellojen luota lähetettäisiin viestejä ja vastausviestejä kellonajoista, niin A-kellon mukana liikkuva havainnoitsija voisi olettaa, että kello B on liikkeellä, eivätkä mitkään mittaukset tasaisen liikkeen aikana olisi ristiriidassa sen kanssa. Kello B näyttäisi käyvän hitaammin, mutta samalla periaatteella laskiessa syntyy myös päätelmä, että se oli alussa "hypähtänyt" edelle.  

Se, että kellon A aika lopulta kului kaikenkaikkiaan hitaammin, johtuu siitä, että se vaihtoi inertiaalikoordinaatistoa, lähti liikkelle.

Entä miltä tilanne näyttäisi havainnoijille? Jos kellon B luota alettaisiin A:n liikkeelle lähtiessä lähettää videokuvaa kellonajasta (valon nopeudella) A:n suuntaan, niin kellon A mukana liikkuva tarkkailija ei ensin näkisi vähään aikaan mitään (kuva ei ehdi heti perille) ja sitten näkisi kellon B viisarin lähtevän liikkeelle 0:sta alkaen tasaisella vauhdilla, ilman "hypähdyksiä",  mutta nopeammin kuin A-kello ja kirien lopulta ohi. Myös kellon B luona oleva tarkkailija näkisi samanlaisen ilmiön, mutta sillä erolla, että kello A ei "kirisi ohi", vaikka näyttäisi käyvän nopeammin sitten kun kuva alkaa näkymään, vaan jäisi vielä lopuksikin jälkeen. Näin päättelen, kun katselen kappaleessa "Mitä kaksoset näkevät" esitetyn kaavion yläosaa, paluumatkan osuutta. 

Lähteitä ja linkkejä:

Professori (emer.) Kari Enqvist, Paluu kaksosten paradoksiin 

Wikipedia: Twin paradox